Geometría Fractal

Miembros:

Marta Llorente Comí, Víctor Ruiz Morcillo y Manuel Morán Cabré

 

Geometría Fractal

 

Por contraposición a la Geometría clásica, que estudia las formas geométricas suaves y regulares,  como rectas, curvas, superficies o más en general, variedades diferenciables, la geometría fractal proporciona modelos matemáticos adecuados para el estudio de formas geométricas complejas e irregulares, tan abundantes en la Naturaleza [2,3].

 

Una familia básica de conjuntos fractales son los autosemejantes, como el triángulo de Sierpinski, la curva de Koch o el conjunto de Cantor. Los conjuntos autosemejantes se caracterizan por descomponerse completamente en partes que son semejantes al total. Naturalmente, si esto es cierto, en cada una de estas partes se produce una descomposición análoga que puede proseguir indefinidamente a escalas arbitrariamente pequeñas. Otras familias de conjuntos importantes en geometría fractal son los de tipo Moran, generalización de los autosemejantes,  en los que a cualquier escala cada parte se descompone en partes no necesariamente semejantes al total, los generados por sistemas iterados de funciones, los conjuntos autoconformes, los autoafines, las construcciones dirigidas por cadenas de Markov, o los movimientos brownianos. Usando estos y otros modelos fractales, hoy el hombre puede recrear en un ordenador una gran variedad de procesos físicos, químicos, biológicos,  geológicos y astronómicos.

 

La geometría clásica clasifica los objetos que estudia según su dimensión y utiliza medidas adaptadas a cada dimensión, como la longitud, la superficie o el volumen para, la medición de esos objetos. La mayor complejidad de los objetos fractales exige una gran variedad de instrumentos de medida. Para empezar las dimensiones no son aquí necesariamente enteras, sino que pueden tomar valores reales arbitrarios, por ejemplo la dimensión del triángulo de Sierpinski es log2/log3. Además, se hace necesarias una variedad de  medidas en cada dimensión para capturar las múltiples propiedades geométricas de los objetos fractales. Así, la cantidad mínima de espacio ambiente en la que se puede encapsular un conjunto se describe por su medida de Hausdorff, mientras la cantidad de máxima de espacio ambiente que se puede abarcar desde un fractal se describe por su medida de empaquetamiento.

 

El estudio de la Geometría Fractal usa variadas ramas de las matemáticas y de la Física, como la Teoría de la medida, Análisis Armónico, la Teoría de Potenciales y Energías, la Termodinámica, Cadenas de Markov y otros tipos de procesos estocásticos, Sistemas Dinámicos, Teoría Ergódica, Ecuaciones Diferenciales, Álgebra…A su vez  la geometría Fractal proporciona nuevos instrumentos de análisis útiles en esas áreas.

 

La comprensión de estos instrumentos de medida tanto como la de los propios conjuntos fractales es sumamente incompleta. Por ejemplo, no se sabe cual es la medida exacta de casi ningún conjunto fractal, incluidos el triángulo de Sierpinski o la curva de Koch. La dimensión de estos conjuntos y otras muchas características se conoce si sus partes constitutivas están convenientemente separadas. Pero si las partes solapan, prácticamente nada se sabe de ellos, puesto que no somos aun capaces de entender las cuestiones relacionadas con la posición relativa entre las distintas partes que componen el total. El área de investigación teórica en modelos fractales se centra hoy  en buena parte en este tipo de problemas.

 

Si la Geometría clásica ha estado en la base de la tecnología hasta los umbrales de la  revolución electrónica, la Geometría Fractal debe dar un nuevo impulso a las nuevas tecnologías cuyo campo de trabajo son las formas complejas en procesos químicos, astronómicos, geológicos y biológicos. La Geometría fractal está estrechamente vinculada con la vida, y debe suministrar la base para una de los revoluciones tecnológicas en marcha, la biotecnología, que permitirá al hombre aprender del proceso evolutivo para una explotación óptima de los recursos naturales.

 

Bibliografía básica comentada

 

[1] H. O. Peitgen, P. H. Richter (1986). The Beauty of Fractals, Springer Verlag.

 

Un paseo por el fascinante mundo del conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia.

 

[2] B. B. Mandelbrot (1987). The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and co.

 

Texto apasionante  que descubrió a la comunidad científica la presencia universal de la geometría fractal en múltiples dominios de la naturaleza y las Ciencias Sociales.

 

[3] B. B. Mandelbrot (1987) Los objetos fractales. Forma, azar y dimensión. Tusquets.

 

Una versión resumida del anterior, editada en castellano.

 

[4] M. de Guzmán, M. A. Martín, M. Morán y M. Reyes, (1993). Estructuras Fractales y sus aplicaciones. Ed. Labor

 

Primer libro escrito en castellano sobre el tema. Describe los modelos matemáticos fractales básicos, haciendo un tratamiento completo a nivel básico de las medidas de Hausdorff y de los conjuntos autosemejantes, dinámica caótica en el plano complejo y elementos de la Teoría de Besicovitch-Federer de clasificación de conjuntos fractales. Traza una panorámica completa en su día de las aplicaciones de la Geometría Fractal a procesos de la naturaleza, y  a otras ramas de las matemáticas y en tecnología y dedica una parte del texto a los algoritmos de generación de fractales, y a los códigos para su implementación por computador.

 

[5] K. Falconer (1990). Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications. John Wiley and Sons.

 

[6] --------------  (1995). Techniques in Fractal Geometry. John Wiley and Sons

 

Dos obras maestras que constituyen instrumentos imprescindibles de trabajo para la investigación en el área. Ofrecen tratamiento matemático básico y  riguroso  de las principales técnicas usadas en Geometría Fractal. Dirigido a todo tipo de investigadores, no necesariamente matemáticos, interesados en aplicar la Geometría Fractal a sus campos de trabajo. El planteamiento de ambos textos es similar. El primero se centra en las dimensiones y medidas fractal, estructura local, proyección e intersección de fractales. Las aplicaciones principales son a sistemas dinámicos y movimientos brownianos. El segundo se puede considerar una actualización del primero, que incorpora teoría ergódica, martingalas, el teorema de renovación, desarrolla el análisis multifractal  e importa de la física los instrumentos del formalismo termodinámico. En él se observa la enorme progresión en las aplicaciones de los fractales, que ahora abarca el amplio campo de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

 

 

[7] P. Mattila (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press

 

Tratamiento matemático completo y profundo de la estructura geométrica de los objetos de naturaleza fractal. Recoge la teoría clásica de la medida: la teoría de Rectificabilidad de Besicovitch, Federer, Marstrand, Mattila y Preiss. Pone el acento en la teoría general, pero no desarrolla aplicaciones. La referencia más avanzada hoy en día en su área